摘要：用空間嚙合理論建立了內(nèi)齒輪剃齒時(shí)展成干涉校核的數(shù)學(xué)模型，并給出了展成干涉與內(nèi)齒輪和剃齒刀的齒數(shù)差、軸交角以及內(nèi)齒輪的變位系數(shù) 間的關(guān)系。該模型不僅可用于 內(nèi)齒輪剃齒時(shí)的展成干涉校核，也為交錯(cuò)軸螺旋齒輪 內(nèi)嚙合傳動(dòng)的干涉校核提供了方法。 關(guān)鍵詞：空間嚙合理論 內(nèi)齒輪 剃齒 干涉校核 引言 內(nèi)齒輪剃齒，可視為空間螺旋齒輪嚙合傳動(dòng)來研究：當(dāng)內(nèi)螺旋齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí)，可能產(chǎn)生三種干涉。一是小齒輪的齒頂和內(nèi)齒輪的齒根過渡線產(chǎn)生干涉；二是內(nèi)齒輪的齒頂和小齒輪輪齒齒根的過渡曲線產(chǎn)生干涉；三是小齒輪輪齒在脫離嚙合之前與內(nèi)齒輪齒頂相碰，而產(chǎn)生嚙合干涉。但在內(nèi)齒輪剃齒前，經(jīng)過剃前插齒后齒根部分已有少量沉割，因此一般不會(huì)產(chǎn)生第一種干涉。又因作為小齒輪的剃齒刀在齒根處均設(shè)計(jì)有退刀孔，所以亦不會(huì)產(chǎn)生第二種干涉。內(nèi)齒輪剃齒時(shí)，唯一可能產(chǎn)生的是第三種干涉。本文稱這種干涉為展成干涉，并就這種干涉進(jìn)行分析和討論。 和內(nèi)齒輪插齒不同，內(nèi)齒輪剃齒是按交錯(cuò)軸螺旋齒輪傳動(dòng)原理來加工的，無法將其視為某一截面內(nèi)的平面嚙合傳動(dòng)來研究。兩輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿轉(zhuǎn)動(dòng)一滑動(dòng)軸的螺旋運(yùn)動(dòng)-引，因此無法借鑒內(nèi)齒輪插齒時(shí)展成干涉的分析方法，必須建立新的數(shù)學(xué)模型來研究內(nèi)齒輪剃齒時(shí)的展成干涉問題。 1數(shù)學(xué)模型 如圖1所示建立坐標(biāo)系，其中S[sub]0[/sub]（o[sub]0[/sub]-x[sub]0[/sub]y[sub]0[/sub]z[sub]0[/sub]）為工件靜止坐標(biāo)系，o[sub]0[/sub]軸與工件軸線重合；S[sub]2[/sub]（[sub]2[/sub]-x[sub]2[/sub]y[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]）為與工件固聯(lián)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，o[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸與o[sub]0[/sub]z[sub]0[/sub]軸重合：S（0-xyz）為剃齒刀靜止坐標(biāo)系，oz軸與剃齒刀軸線重合，ox軸與o[sub]0[/sub]x[sub]0[/sub]軸共線；S[sub]1[/sub]（o[sub]1[/sub]-x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]z[sub]1[/sub]）為與剃齒刀固聯(lián)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，0[sub]1[/sub]z[sub]1[/sub]軸與oz軸重合。工件系與刀具系的原點(diǎn)相距為α，工件軸線與刀具軸線的交角為Σ。令剃齒刀隨運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S[sub]1[/sub]繞0[sub]1[/sub]z[sub]1[/sub]軸轉(zhuǎn)過角Φ[sub]1[/sub]，此時(shí)內(nèi)齒輪隨其運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S[sub]2[/sub]繞0[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸轉(zhuǎn)過Φ[sub]2[/sub]角：若剃齒刀與內(nèi)齒輪的傳動(dòng)比為i[sub]12[/sub]，則 式中 z[sub]1[/sub] ——剃齒刀齒數(shù) z[sub]2[/sub] ——內(nèi)齒輪齒數(shù) 由圖 1可得內(nèi)齒輪運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 S[sub]2[/sub] 與剃齒刀運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 S[sub]1[/sub] 間的轉(zhuǎn)換關(guān)系[3] 式中，為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣， 可寫成 若要求在刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S[sub]1[/sub]的 o[sub]1[/sub]- x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]平面內(nèi)的某點(diǎn)與工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S[sub]2[/sub]間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可令 將式（3），式（4），式（5），式（6）及式（7）代入式（2），經(jīng)矩陣乘法運(yùn)算并整理后有 式（8）給出了刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 S[sub]1[/sub]中的o[sub]1[/sub]- x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]平面內(nèi)的坐標(biāo)與工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 52間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。若在 S[sub]2[/sub]中的 o[sub]1[/sub]- x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]平面中給出某一固定點(diǎn)，式（8）便表示該點(diǎn)在 S[sub]2[/sub]中的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。 如圖 2所示，在刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 S[sub]1[/sub]中過原點(diǎn) O[sub]1[/sub]作一剃齒刀端截面，在此截面中刀齒頂點(diǎn) Q的坐標(biāo)可寫成 把式（9）代入式（8）便得到剃齒刀齒頂p點(diǎn)在工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系S[sub]2[/sub]中的軌跡曲線方程。 設(shè)內(nèi)齒輪為直齒輪，如圖3所示在工件運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 S[sub]2[/sub]中，過內(nèi)齒輪輪齒頂點(diǎn) B點(diǎn)和 o[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸作平面該平面σ，方程可寫成 剃齒時(shí)，在坐標(biāo)系S[sub]2[/sub]內(nèi)剃齒刀齒頂 Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線必與平面σ相交，如圖4所示，設(shè)交點(diǎn)為 E。 為求交點(diǎn)的坐標(biāo)值，可將式（9）代入式（8），再把式（8）代入式（10）并整理后有 考慮到Φ[sub]1[/sub]=i[sub]12[/sub]Φ[sub]2[/sub] ，式（11）為含參數(shù)Φ[sub]2[/sub] 的超越方程，可用數(shù)值方法求解。再把求得的 Φ[sub]2[/sub] 、Φ[sub]1[/sub] 值代回式（8）便可求得交點(diǎn) E的坐標(biāo)值 （x[sub]2E[/sub] ，Y[sub]2E[/sub] ， z[sub]2E[/sub] ）。設(shè)E點(diǎn)到o[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸的距離為 L，則 若L與內(nèi)齒輪頂圓半徑R[sub]φ2[/sub]的差值用ΔR表示，則 由式（12）的值可判別剃齒時(shí)內(nèi)齒輪和剃齒刀是否發(fā)生展成干涉 。 2 中心距a與軸交角Σ的計(jì)算 在進(jìn)行上述干涉校核之前，必須計(jì)算所用的剃齒刀與被加工內(nèi)齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí)的軸交角Σ和中心距a。為此，過ox軸作法剖面，則由交錯(cuò)軸傳動(dòng)的無側(cè)隙嚙合方程有 當(dāng)內(nèi)齒輪為直齒β[sub]2[/sub]=0。將式（14），式（15）， 式（16）代入式（13）并整理后有 把式（18）代入式（17）后 ，式（17）為含未知數(shù)的超越方程，可用數(shù)值方法求解。解出后，內(nèi)齒輪的節(jié)圓半徑為 剃齒刀的節(jié)圓半徑為 由式（19）、式（20）可得中心距a為 3 計(jì)算例 所用內(nèi)齒輪和剃齒刀的基本參數(shù)為內(nèi)齒輪：模數(shù)m=4，分度圓壓力角 α[sub]2[/sub]=20[sup]o[/sup]，分度圓螺旋角β[sub]2[/sub]=0，齒 數(shù) z[sub]2[/sub]=70，齒頂高系數(shù)f=1，變位系數(shù)ξ[sub]2[/sub]=0.5，分度圓留剃余量δ=0；剃齒刀：法向模數(shù)m[sub]n[/sub] =4，法向壓力角α[sub]n[/sub]=20[sup]o[/sup]，分度圓螺旋角 β[sub]1[/sub]=5[sub]o[/sub],齒數(shù) z[sub]1[/sub]=41。 為研究各種參數(shù)（如齒數(shù)差 ΔZ，軸交角Σ ，變位系數(shù)ξ[sub]2[/sub]）對(duì)展成干涉可能性的影響，在保持上述其余參數(shù)不變的情況下 ，改 變內(nèi)齒輪的齒數(shù) z[sub]2[/sub]，從而改變了內(nèi)齒輪和剃齒刀的齒數(shù)差，計(jì)算出一系列的Δ尺值，并繪制成如圖 5所示的曲線。同樣，保持其他參數(shù)不變，僅改變內(nèi)齒輪的變位系數(shù)，計(jì)算出一系列的Δ尺值，繪制成如圖 6所示的曲線。圖 7表示軸交角Σ和ΔR的關(guān)系曲線。 4 分析與討論 由圖5可看出，當(dāng)內(nèi)齒輪和剃齒刀的齒數(shù)差少于或等于9時(shí)，將發(fā)生展成干涉。并且由以上的計(jì)算結(jié)果可知內(nèi)齒輪剃齒時(shí)的展成干涉不僅與內(nèi)齒輪和剃齒刀的齒數(shù)差有關(guān)，還與內(nèi)齒輪的變位系數(shù)以及剃齒時(shí)的軸交角有關(guān)。增大內(nèi)齒輪和剃齒刀的齒數(shù)差，可使發(fā)生展成干涉的可能性減少。同樣，增大內(nèi)齒輪的變位系數(shù)也可使發(fā)生展成干涉的可能性減少。而且在剃齒時(shí)，加大軸交角亦可減少發(fā)生展成干涉的可能性。 參考文獻(xiàn) 1 四川省機(jī)械工業(yè)局 ．齒輪刀具設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)（上）．北京：機(jī)械工業(yè) 出版社，1982 2 袁哲俊等．齒輪刀具設(shè)計(jì)（上）．北京：新時(shí)代出版社，1983 3 姚南同等．?dāng)?shù)學(xué)在刀具設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1988 4 吳序堂．齒輪嚙合原理．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1982